在信号处理中常常需要用到曲线拟合，这里介绍一下利用最小二乘拟合一般曲线的方法，并对滤掉信号中白噪声的方法作些介绍。

为了测试拟合算法的好坏，先模拟出一个信号作为检验算法的例子：

1. 用白噪声产生模拟信号：
   对于理论信号y=y(x)，一般可用rand(size(x))和randn(size(x))生成随即噪声信号，两者的区别在于rand生成的噪声信号都是正值，而randn生成的噪声信号则是正负跳跃分布的，所以randn作为白噪声信号，更符合实际情况：

f0=@(c,x)( (x>=0&x
    
     =c(1)&x
     
      =c(2)&x
      
       =c(4)&x
       
        =c(6))*0 );disp('real c0');c0=[1, 2, 1, 5, 2, 6]x_int=0:0.002:10;y_int=f0(c0,x_int);%(x_int, y_int) is perfect zigzag signal %sig=y_int+0.5*rand(size(x_int));sig=y_int+0.5*randn(size(x_int));
       
      
     
    

1. 最小二乘折线拟合
   考虑到需要拟合的函数是个分段的折线函数，需要首先建立含有固定参数的折线函数的数学模型，算法如下图：
   
   按照这个算法，用matlab搭建的代码如下：

% try zigzag fittingf2=@(c,x)( (x>=0&x
    
     =c(1)&x
     
      =c(2)&x
      
       =c(4)&x
       
        =c(6))*0 );c0=[1.1, 1.5, 1.8, 5.4, 2.5, 5.6];c_fit=nlinfit(x_int,sig,f2,c0);y2=f2(c_fit,x_int);figure();plot(x_int,sig,'blue');hold onplot(x_int,y2,'red --','linewidth',2);legend('sig','zigzag fitting');
       
      
     
    

真实参数：1，2，1，5，2，6

拟合参数：1.0237，2.06，1.0107，4.9479，2.1101，6.0005

可以看到，拟合的参数多少和真实的参数存在一些差异，但是已经非常接近。

1. 优化：傅立叶变换降噪
   如果要进一步提高拟合的精度，需要设法降低白噪声的干扰。因为白噪声是一种宽谱的干扰，所以常用的带通滤波处理是不可行的，这里可以考虑对信号进行傅立叶变换，滤掉其中强度较弱的白噪声频域成分。

Fs=1/(x_int(2)-x_int(1));nfft=length(sig);sig_fft_comp=fft(sig);sig_fft_real=2*abs(sig_fft_comp)/nfft;% adjust the distribution of spectrum according to double frequency directionsig_fft_real_adjust=[sig_fft_real(round(nfft/2+1):end),sig_fft_real(1:round(nfft/2))];f_double=linspace(-Fs/2,Fs/2,nfft);% apply the A(f) strength filterAf_level=0.01;Af_lim=Af_level*max(sig_fft_real);i_fd=find(sig_fft_real

傅立叶降噪后结果如下：

此时算得的拟合系数是：

1.0677，1.8680， 0.9665，5.0140，1.9736，5.9895

这比降噪前的效果稍好了一些，更贴近与真实的折线系数。但是编程的复杂度上升了很多，在对拟合的精度要求不是太高的情况下，可以不用作傅立叶降噪的处理。

1. 补充：matlab多项式拟合函数(polyfit)
   [p,s,mu]=polyfit(x,y,n)
   x,y是被拟合的离散曲线点，n是需要拟合的多项式次数(默认的多项式是幂级数形式的)，其中p是个多项式各次项的系数，是按照指数从高到低排列的。mu(1)是y的平均值，mu(2)是单位标准偏差(unit standard deviation，可缩写成STD)
   \(SDT=\frac{y-mean(y)}{\sigma}\)